Что такое и какие бывают бесконечные пределы: определение и примеры (8 видео)

Бесконечные пределы — это концепция, широко используемая в математике для описания поведения функций или последовательностей, когда независимая переменная стремится к бесконечности или отрицательной бесконечности.

Определение бесконечного предела основано на концепции предела функции, которая описывает, как функция приближается к определенному значению при приближении независимой переменной к некоторому значению. Бесконечные пределы рассматриваются в случаях, когда приближение независимой переменной идет в бесконечность.

Существует несколько типов бесконечных пределов, включая положительную и отрицательную бесконечность. Положительный бесконечный предел означает, что функция стремится к плюс бесконечности, а отрицательный бесконечный предел означает, что функция стремится к минус бесконечности. Некоторые функции могут также иметь односторонние бесконечные пределы или пределы в обоих направлениях.

Например, рассмотрим функцию f(x) = 1/x. При приближении x к нулю, значение функции увеличивается до бесконечности. Это означает, что функция имеет положительный бесконечный предел при x, стремящемся к нулю. Наоборот, при приближении x к бесконечности, значение функции стремится к нулю. Таким образом, функция имеет отрицательный бесконечный предел при x, стремящемся к бесконечности.

Содержание

Определение бесконечных пределов
Определение бесконечного предела
Понятие предела последовательности
Примеры бесконечных пределов
Пример бесконечного предела сходящейся последовательности
Пример бесконечного предела расходящейся последовательности
📽️ Видео

Видео:27. Вычисление предела функции №1. Примеры 1-4Скачать

Определение бесконечных пределов

Определение бесконечного предела формально звучит следующим образом: предел функции или последовательности равен бесконечности, если для любого положительного числа M существует такое число N, что все значения функции или последовательности, начиная с номера N, больше M.

Другими словами, если мы можем выбрать любое положительное число M, то существует такой номер N, начиная с которого все значения функции или последовательности будут больше M.

Определение бесконечных пределов связано с двумя концепциями: сходимости и расходимости. Когда функция или последовательность имеют предел, который является бесконечностью, говорят, что они расходятся.

Определение бесконечных пределов можно представить в виде таблицы:

Тип предела	Определение
Предел функции	lim_{x->a} f(x) = +∞
Предел последовательности	lim_{n->∞} a_n = +∞

Таким образом, определение бесконечных пределов позволяет формально описывать поведение функций и последовательностей, когда их значения стремятся к бесконечности. Это важное понятие находит широкое применение в разных областях математики и естественных наук.

Определение бесконечного предела

Математически, бесконечный предел можно определить следующим образом: пусть f(x) — функция, a — точка на числовой прямой. Говорят, что бесконечность является пределом функции f(x), когда при x, стремящемся к a, значение f(x) становится сколь угодно большим или сколь угодно малым, не имея конкретного ограничения сверху или снизу.

Другими словами, значению функции f(x) можно придать любое число, большее или меньшее, чем любое заданное число N, если только переменная x находится достаточно близко к значению a, т.е. |x — a| < δ, где δ - положительное число, N - любое заданное число.

Например, рассмотрим функцию f(x) = 1/x при x, стремящемся к 0. В данном случае предел функции f(x) при x, стремящемся к 0, будет бесконечностью, так как значения f(x) становятся сколь угодно большими при приближении x к 0.

Определение бесконечного предела также можно применить к последовательностям. Последовательность a_n сходится к бесконечности, если для любого N существует такой номер n, начиная с которого все элементы последовательности a_n будут больше N.

В обоих случаях, для определения бесконечного предела, необходимо установить отсутствие ограничений на значение функции или последовательности.

Понятие предела последовательности

Предел последовательности позволяет определить, к какому числу последовательность стремится при условии, что ее элементы увеличиваются или уменьшаются с увеличением порядкового номера. Если предел существует, то говорят, что последовательность сходится. Если предел не существует или является бесконечным, то последовательность расходится.

Формально предел последовательности можно определить следующим образом: пусть {a_n} — последовательность, a — число. Говорят, что a — предел последовательности {a_n}, если для любого положительного числа ε существует такой номер N, начиная с которого все элементы последовательности, начиная с номера N, лежат в интервале (a-ε, a+ε).

Существует несколько типов пределов последовательностей. Например, последовательность может стремиться к конечному числу, к бесконечности или не иметь предела вовсе. Этому также могут быть присущи разные свойства, такие как сходимость или расходимость.

При изучении пределов последовательностей особое внимание уделяется предельным свойствам и условиям достижения предела. Изучение этих свойств позволяет более глубоко понять поведение и характеристики последовательностей при стремлении их элементов к определенному числу или бесконечности.

Знание понятия предела последовательности и его свойств является ключевым для понимания и применения множества математических концепций и теорем, а также для решения различных задач, связанных с последовательностями и рядами.

Видео:Матан. Пределы для успешной сдачи зачёта | TutorOnline МатематикаСкачать

Примеры бесконечных пределов

1. Пример с последовательностью четных чисел:

Рассмотрим последовательность четных чисел: 2, 4, 6, 8, 10, … Видно, что каждый следующий член последовательности больше предыдущего на 2. Если мы будем продолжать увеличивать члены последовательности, то они будут стремиться к бесконечности, так как нет ограничения сверху. Таким образом, предел этой последовательности равен бесконечности.

2. Пример с функцией, у которой аргумент стремится к нулю:

Рассмотрим функцию f(x) = 1/x. При аргументе, близком к нулю, функция будет стремиться к бесконечности. Например, если мы возьмем значения аргумента x равные 0.1, 0.01, 0.001 и так далее, то соответствующие значения функции будут увеличиваться до бесконечности. Таким образом, предел этой функции при x стремящемся к нулю равен бесконечности.

3. Пример с последовательностью расходящихся членов:

Рассмотрим последовательность -1, -2, -3, -4, -5, … Каждый следующий член данной последовательности будет меньше предыдущего на 1. Если мы будем продолжать уменьшать члены последовательности, то они будут стремиться к бесконечности отрицательной стороны. Таким образом, предел этой последовательности равен минус бесконечности.

Таким образом, примеры бесконечных пределов включают последовательности с бесконечными возрастающими членами, функции, у которых аргумент стремится к нулю, и последовательности с бесконечными убывающими членами.

Пример бесконечного предела сходящейся последовательности

Рассмотрим последовательность чисел, заданную формулой:

$$a_n = \frac{1}{n}$$

где $$n$$ — натуральное число.

Для этой последовательности можно установить, что все ее члены стремятся к нулю:

$$\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$$

Таким образом, предел этой последовательности равен нулю.

Если мы попытаемся найти предел по теореме о пределе суммы, мы получим следующее:

$$\lim_{n \to \infty} (a_n + a_{n+1}) = \lim_{n \to \infty} \left(\frac{1}{n} + \frac{1}{n+1}

ight) = \lim_{n \to \infty} \frac{2n+1}{n(n+1)}$$

Раскрывая скобки и упрощая выражение, получаем:

$$\lim_{n \to \infty} \frac{2n+1}{n(n+1)} = \lim_{n \to \infty} \frac{2}{n} = 0$$

Таким образом, предел суммы двух соседних членов последовательности также равен нулю.

Предыдущий пример показывает, что предел последовательности может быть равен нулю, даже если каждый отдельный член не равен нулю. Это связано с тем, что значения членов последовательности становятся все меньше и меньше по мере увеличения номера члена.

Таким образом, данный пример демонстрирует ситуацию, когда предел сходящейся последовательности равен нулю.

Пример бесконечного предела расходящейся последовательности

Давайте рассмотрим пример расходящейся последовательности:

Последовательность a_n = n

Эта последовательность состоит из натуральных чисел, и каждое следующее число больше предыдущего на единицу. Когда n стремится к бесконечности, каждый следующий элемент последовательности будет равен предыдущему плюс один.

То есть, элементы последовательности будут такими: 1, 2, 3, 4, 5, 6, … и так далее. Видно, что эти числа увеличиваются бесконечно, и нет никакого конечного значения, к которому они стремятся.

Поэтому можно сказать, что предел данной последовательности равен бесконечности, обозначается как a_n → ∞.

Пример расходящейся последовательности с бесконечным пределом демонстрирует, что значения последовательности не стремятся к какому-либо конечному числу, а становятся все больше, стремясь к бесконечности.