Что такое стандартное отклонение и как его применить: определение, принципы, примеры (5 видео)

Сумма всех разностей между значениями в выборке и их средним арифметическим делится на количество значений в выборке. Затем полученное значение возводится в квадрат и обозначается как сумма квадратов отклонений. Из этой суммы извлекается среднее значение, а затем берется его положительный квадратный корень. Получившееся число и есть стандартное отклонение.

Стандартное отклонение — это одна из основных мер разброса значений в выборке. Оно позволяет оценить, насколько значения в выборке отклоняются от их среднего значения. Если стандартное отклонение низкое, это означает, что значения в выборке сгруппированы вокруг среднего значения и имеют небольшой разброс. Если стандартное отклонение высокое, значит значения в выборке разбросаны более равномерно вокруг среднего значения и имеют большой разброс.

Например, представим, что у нас есть выборка оценок студентов по математике: 5, 4, 3, 4, 5. Чтобы вычислить стандартное отклонение, мы сначала найдем среднее арифметическое значение: (5 + 4 + 3 + 4 + 5) / 5 = 21 / 5 = 4,2.

Затем мы вычисляем разницу каждой оценки со средним значением и возводим результат в квадрат:

(5 — 4,2)² = 0,64

(4 — 4,2)² = 0,04

(3 — 4,2)² = 1,44

(4 — 4,2)² = 0,04

(5 — 4,2)² = 0,64

Затем мы суммируем все квадраты отклонений:

0,64 + 0,04 + 1,44 + 0,04 + 0,64 = 2,8

Далее находим среднее значение суммы квадратов отклонений:

2,8 / 5 = 0,56

И, наконец, берем положительный квадратный корень от полученного значения:

√0,56 ≈ 0,75

Таким образом, стандартное отклонение для данной выборки оценок составляет около 0,75.

Содержание

Определение стандартного отклонения
Значение и основные понятия
Математическая формула
Принципы использования стандартного отклонения
Распределение вероятностей
Определение выбросов
Примеры применения стандартного отклонения
📸 Видео

Видео:Элементы статистики. Дисперсия. Стандартное отклонениеСкачать

Определение стандартного отклонения

Стандартное отклонение является одним из ключевых понятий в статистике и используется в различных областях, таких как физика, экономика, социология, биология и другие. Например, в физике это может быть использовано для измерения погрешности в экспериментальных данных, в экономике — для оценки волатильности финансовых рынков, а в социологии — для анализа опросных данных.

Стандартное отклонение вычисляется путем нахождения квадратного корня из дисперсии – среднего квадратического отклонения от среднего значения. Оно позволяет учесть все значения в выборке и учесть их при вычислении разброса данных относительно среднего значения в выборке.

Использование стандартного отклонения является важным при принятии решений, так как позволяет определить, насколько значения отклоняются от среднего значения и какое количество значений попадает в определенный интервал. Более точное определение разброса значений позволяет принимать более информированные и обоснованные решения.

Значение и основные понятия

Основными понятиями, связанными со стандартным отклонением, являются:

Выборка — это конкретный набор данных, на основе которого вычисляется стандартное отклонение;
Среднее значение — это сумма всех значений в выборке, деленная на количество значений;
Расстояние отклонения — это различие между каждым значением в выборке и средним значением;
Квадрат расстояния отклонения — это квадрат значения расстояния отклонения;
Дисперсия — среднее значение квадратов расстояний отклонений;
Стандартное отклонение — положительный квадратный корень из дисперсии.

Математическая формула для вычисления стандартного отклонения:

\sigma = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}(x_i — \mu)^2}

где:

$$\sigma$$ — стандартное отклонение;
$$n$$ — количество значений в выборке;
$$x_i$$ — каждое значение в выборке;
$$\mu$$ — среднее значение.

Применение стандартного отклонения позволяет оценить вариабельность данных, идентифицировать выбросы и понять, насколько далеко значения находятся от среднего. Большое стандартное отклонение указывает на большую вариабельность, а маленькое — на меньшую.

Стандартное отклонение также используется в распределении вероятностей для оценки, насколько значения в выборке отклоняются от среднего значения.

Определение выбросов — это процесс идентификации значений в выборке, которые существенно отклоняются от среднего значения. Обнаружение выбросов может быть полезным для исключения ошибок в данных или выявления аномальных значений.

Математическая формула

Стандартное отклонение вычисляется с помощью математической формулы, которая позволяет найти меру разброса значений относительно их математического ожидания. Формула для вычисления стандартного отклонения:

σ = √(Σ(xi — x̄)² / N)

Где:

σ — стандартное отклонение;
xi — очередное значение из набора данных;
x̄ — среднее значение;
N — количество значений в наборе данных.

Формула предполагает вычисление отклонения каждого значения от среднего значения, возведение разности в квадрат, суммирование всех квадратов и деление на количество значений. Затем берется квадратный корень из полученного значения. Именно такие действия позволяют определить, насколько значения отклоняются от среднего.

Видео:Алгебра. 8 класс. Среднее значение. Дисперсия. Стандартное отклонение /10.03.2021/Скачать

Принципы использования стандартного отклонения

Основными принципами использования стандартного отклонения являются:

1. Измерение разброса: Стандартное отклонение использоваться для измерения разброса значений в выборке. Чем больше значение стандартного отклонения, тем больше разброс значений относительно среднего.

2. Оценка надежности: Чем меньше значение стандартного отклонения, тем более надежные данные в выборке. Малое стандартное отклонение указывает на то, что значения в выборке очень близки к среднему значению.

3. Сравнение выборок: Стандартное отклонение можно использовать для сравнения разброса значений в разных выборках. Если стандартное отклонение одной выборки больше, чем у другой, то можно сделать предположение, что первая выборка имеет более широкий разброс значений.

4. Выявление выбросов: Стандартное отклонение позволяет определить аномальные значения в выборке, так называемые выбросы. Значения, которые сильно отклоняются от среднего значения, считаются выбросами и могут быть исключены из анализа данных.

Кроме этих принципов, использование стандартного отклонения может помочь в прогнозировании будущих значений, проверке гипотез и выполнении других статистических расчетов.

Распределение вероятностей

При анализе данных и исследовании выборки, знание о распределении вероятностей помогает понять, какие значения или события более вероятны или менее вероятны. Это позволяет прогнозировать результаты определенного процесса или события.

Стандартное отклонение является одним из наиболее распространенных показателей распределения вероятностей. Оно представляет собой меру разброса значений вокруг среднего значения.

Для определения стандартного отклонения нужно вычислить разницу между каждым значением в выборке и средним значением, затем возвести эти разницы в квадрат, сложить их и найти среднее арифметическое. Затем извлекается квадратный корень из этого значения, чтобы получить стандартное отклонение.

После нахождения стандартного отклонения можно проанализировать величины, которые находятся в пределах одного, двух или трех стандартных отклонений от среднего значения. Чем больше величина отклонения, тем более редкими и непредсказуемыми будут значения.

Стандартное отклонение также используется для определения выбросов — значений, которые существенно отличаются от остальных значений выборки. Это могут быть как ошибочные данные, так и особые значения, которые требуют дополнительного анализа.

Применение стандартного отклонения в анализе данных и статистике позволяет более точно и объективно оценивать различные явления и события. Это помогает прогнозировать результаты, определять выбросы и принимать решения на основе надежных статистических данных.

Значение	Вероятность
Меньше среднего значения — 1 стандартное отклонение	34.1%
Меньше среднего значения — 2 стандартных отклонения	13.6%
Меньше среднего значения — 3 стандартных отклонения	2.1%
Больше среднего значения — 1 стандартное отклонение	34.1%
Больше среднего значения — 2 стандартных отклонения	13.6%
Больше среднего значения — 3 стандартных отклонения	2.1%

Используя значения стандартного отклонения и соответствующие вероятности, можно определить, насколько вероятно появление значения в определенном диапазоне.

Распределение вероятностей с помощью стандартного отклонения является важным инструментом для анализа данных, прогнозирования результатов и принятия решений на основе надежной статистической информации.

Определение выбросов

Стандартное отклонение используется для определения выбросов. Если значение выброса отстоит на несколько стандартных отклонений от среднего значения выборки, то оно считается выбросом.

Определение выбросов основано на распределении вероятностей, которое показывает, как вероятно появление определенного значения в выборке.

Примером выброса может быть случай, когда по результатам медицинского исследования у большинства пациентов температура тела составляет 36-37 градусов. Однако есть один пациент, у которого температура тела составляет 40 градусов. В этом случае 40 градусов может быть считается выбросом.

Определение выбросов является важным этапом при анализе данных. Выбросы могут искажать статистические показатели, такие как среднее значение и стандартное отклонение, и могут влиять на результаты исследования или прогнозирование.

Для определения выбросов их необходимо выявлять и анализировать. Один из методов определения выбросов — использование правила трех сигм. По этому правилу, значение, которое отстоит на более чем три стандартных отклонения от среднего значения, считается выбросом.

Если выбросы не являются ошибками или искажениями данных, их необходимо учитывать при анализе или прогнозировании. Они могут предоставить дополнительную информацию или указать на наличие аномалий или особенностей в исследуемом явлении.

В целом, определение выбросов является важным инструментом статистического анализа данных и позволяет выявить значения, которые значительно отклоняются от общей тенденции выборки.

Видео:Математическое Ожидание, Дисперсия, Стандартное Отклонение за 5 минутСкачать

Примеры применения стандартного отклонения

Финансовая аналитика: В финансовых исследованиях стандартное отклонение часто используется для измерения волатильности инвестиционных инструментов. Высокое стандартное отклонение может указывать на большой риск, а низкое стандартное отклонение может указывать на более стабильные и предсказуемые инструменты.
Медицинская статистика: Стандартное отклонение может быть полезным инструментом для измерения вариации результатов исследования. Например, в исследованиях эффективности лекарственных препаратов стандартное отклонение может указывать на различия в ответе пациентов на терапию.
Производственная статистика: В промышленности стандартное отклонение может использоваться для контроля качества и оценки стабильности процессов производства. Высокое стандартное отклонение может указывать на нестабильность производственного процесса, в то время как низкое стандартное отклонение может указывать на стабильность и повышенную точность.
Образование: В образовательной сфере стандартное отклонение может использоваться для оценки успеваемости учащихся. Высокое стандартное отклонение может указывать на большую вариабельность в учебной деятельности, а низкое стандартное отклонение может указывать на более однородные результаты.
Маркетинговые исследования: В маркетинговых исследованиях стандартное отклонение может быть использовано для измерения вариации в ответах опрошенных лиц на определенные вопросы или реакции на продукт или услугу. Это позволяет лучше понять различия между группами и определить наиболее привлекательные аспекты продукта или услуги.

Это лишь некоторые примеры применения стандартного отклонения. С помощью этой метрики можно анализировать данные в разных областях и получать ценную информацию для принятия решений и оптимизации процессов.