Доказательство и признаки параллелограмма (4 видео)

Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны и равны. Эта геометрическая фигура имеет несколько интересных свойств, которые можно доказать с помощью геометрических рассуждений.

Одним из признаков параллелограмма является равенство диагоналей. Если в четырехугольнике диагонали равны, то это означает, что противоположные стороны параллельны. Действительно, если диагонали равны, то треугольники, образованные ими, равны по сторонам и углам. Значит, у них также равны соответствующие стороны и углы, в том числе и противоположные углы. Это говорит о параллельности противоположных сторон.

Другим признаком параллелограмма является равенство противоположных углов. Если в четырехугольнике противоположные углы равны, то это значит, что противоположные стороны параллельны. Действительно, если углы равны, то треугольники, образованные этими углами, равны по сторонам и углам. Значит, у них также равны соответствующие стороны и углы. Это говорит о параллельности противоположных сторон.

Доказательство параллельности противоположных сторон параллелограмма можно также провести с использованием параллельных прямых и углов. Если мы проведем параллельные прямые через две противоположные вершины, то они будут пересекать стороны параллелограмма в соответствующих точках, из которых можно провести прямые отрезки, образующие параллелограмм. Данный признак является следствием свойств параллельных прямых и углов и позволяет легко доказать параллельность противоположных сторон параллелограмма.

Содержание

Признаки параллелограмма
Равны противоположные стороны
Равны смежные углы
Доказательство параллелограмма
Доказательство растворных углов параллелограмма
Доказательство равенства противоположных сторон
📺 Видео

Видео:Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // ГеометрияСкачать

Признаки параллелограмма

Для того чтобы определить, является ли данный четырехугольник параллелограммом, необходимо проверить выполнение следующих признаков:

1. Равные противоположные стороны	Если противоположные стороны четырехугольника равны, то это является признаком параллелограмма.
2. Равные смежные углы	Если смежные углы четырехугольника равны, то это также является признаком параллелограмма.

Для доказательства параллелограмма необходимо использовать эти признаки. Если все признаки выполняются, то можно утверждать, что данный четырехугольник является параллелограммом.

Для доказательства равенства противоположных сторон параллелограмма необходимо использовать соответствующие элементы геометрической фигуры, например, длины сторон.

Использование этих признаков и методов доказательства помогает определить, является ли четырехугольник параллелограммом или нет.

Равны противоположные стороны

Для доказательства равенства противоположных сторон в параллелограмме можно использовать несколько методов. Например, можно провести диагонали параллелограмма и показать, что они делятся пополам и пересекаются в середине. Это свидетельствует о том, что противоположные стороны равны, так как диагонали являются отрезками, соединяющими противоположные вершины.

Еще одним методом для доказательства равенства противоположных сторон является использование параллельных линий. Если провести параллельные линии на каждую из противоположных сторон параллелограмма, то можно заметить, что они будут иметь одинаковую длину. Это объясняется тем, что параллельные линии имеют одинаковое расстояние между собой.

Таким образом, равенство противоположных сторон является одним из признаков параллелограмма и может быть доказано с помощью проведения диагоналей или использования параллельных линий.

Равны смежные углы

Если в параллелограмме имеются две пары смежных углов, то каждая пара будет равна друг другу. Доказательство этого признака основывается на свойствах параллельных линий и их пересекающихся прямых.

Рассмотрим параллелограмм ABCD. Пусть угол A равен углу C, а угол B равен углу D. Предположим, что углы A и C не равны. Тогда существует прямая, пересекающая стороны AD и BC и образующая угол A или C с одной из них. Но это противоречит определению параллелограмма, так как в параллелограмме все углы должны быть равны. Аналогично, предположение о неравенстве углов B и D приводит к противоречию.

Таким образом, равенство смежных углов является характерным признаком параллелограмма и может быть использовано при его определении.

Видео:Признаки параллелограмма. 8 класс.Скачать

Доказательство параллелограмма

Для доказательства того, что данная фигура является параллелограммом, необходимо проверить выполнение двух условий: равенства противоположных сторон и параллельности этих сторон.

Для проверки равенства противоположных сторон можно воспользоваться теоремой Пифагора и расстоянием между точками на плоскости. Необходимо измерить длины каждой из сторон и сравнить их. Если все противоположные стороны равны, то одно условие выполнено.

Для проверки параллельности сторон параллелограмма можно воспользоваться двумя способами. Первый способ — измерить углы углы каждой стороны с горизонтальной или вертикальной осью и сравнить их. Если сумма углов с одной осью равна 180 градусам, то стороны параллельны. Второй способ — построить прямую, проведя параллельную одной из сторон через вторую сторону. Если она пересекает или касается третьей стороны, то стороны параллельны.

Таким образом, доказательство параллелограмма основано на проверке равенства противоположных сторон и параллельности этих сторон. Если оба условия выполняются, то фигура является параллелограммом и имеет свойства, характерные для этого типа четырехугольников.

Доказательство растворных углов параллелограмма

Растворными углами параллелограмма называются углы, образованные диагоналями и смежными сторонами параллелограмма.

Для доказательства равенства растворных углов в параллелограмме можно использовать два способа:

1. Использование свойств параллельных прямых:

Рассмотрим параллелограмм ABCD:

Вставить изображение параллелограмма ABCD

Диагонали AC и BD пересекаются в точке E.

Для доказательства равенства растворных углов будем использовать следующие свойства:

— Противоположные стороны параллелограмма равны;

— Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам.

Из свойств противоположных сторон параллелограмма следует, что AE = DC и BE = AD.

Также из свойства деления диагоналей пополам следует, что AE = EC и BE = ED.

Следовательно, AE = EC = DC и BE = ED = AD.

Из равенства сторон трапеции AEDC следует, что углы EDC и EAD равны.

Аналогично можно доказать, что углы DAB и CBA равны.

Таким образом, углы, образованные диагоналями и смежными сторонами параллелограмма, равны между собой.

2. Использование свойств параллелограмма:

Рассмотрим параллелограмм ABCD:

Вставить изображение параллелограмма ABCD

Диагонали AC и BD пересекаются в точке E.

Для доказательства равенства растворных углов также воспользуемся свойствами параллелограмма:

— Противоположные стороны параллелограмма равны;

— Противоположные углы параллелограмма равны;

— Смежные углы параллелограмма дополняют друг друга до 180 градусов.

Из равенства сторон параллелограмма следует, что AE = CD и BE = AD.

Также из равенства углов параллелограмма следует, что угол AED равен углу ABC, а угол ADE равен углу BAC.

Из свойства дополнительности смежных углов параллелограмма следует, что сумма углов AED и ADE составляет 180 градусов (угол AED + угол ADE = 180°).

Таким образом, углы EDC и EAD равны, а углы DAB и CBA равны.

Таким образом, мы доказали, что растворные углы параллелограмма равны между собой.

Доказательство равенства противоположных сторон

Для доказательства равенства противоположных сторон необходимо воспользоваться свойствами и определениями параллелограмма. Пусть ABCD — параллелограмм.

Обозначим стороны параллелограмма: AB — сторона, противоположная стороне CD, и BC — сторона, противоположная стороне AD.
Согласно признаку параллелограмма, противоположные стороны AB и CD параллельны и равны.
Также согласно признаку параллелограмма, противоположные стороны BC и AD параллельны и равны.
Из равенства противоположных сторон AB и CD следует, что AB = CD.
Из равенства противоположных сторон BC и AD следует, что BC = AD.

Таким образом, доказано равенство противоположных сторон в параллелограмме ABCD. Этот признак является одним из ключевых свойств, позволяющих определить, является ли данный четырехугольник параллелограммом.