Операции с векторами: виды и примеры (4 видео)

Векторы являются одним из ключевых понятий в математике и физике. Они представляют собой объекты, которые обладают как величиной, так и направлением. Именно поэтому векторы широко используются для описания и анализа различных физических и геометрических явлений.

Операции над векторами позволяют производить различные действия с этими объектами. Изучение этих операций не только помогает понять суть векторного анализа, но и пригодится при решении различных практических задач.

Основные операции с векторами включают сложение, вычитание и умножение на число. Сложение векторов позволяет получить новый вектор, который является суммой исходных векторов. Вычитание векторов, в свою очередь, приводит к получению нового вектора, являющегося разностью заданных векторов. Умножение вектора на число позволяет получить новый вектор, который является произведением исходного вектора на заданное число.

Содержание

Арифметические операции над векторами
Сложение векторов
Вычитание векторов
Умножение вектора на число
Векторное произведение
Геометрическая интерпретация векторного произведения
Математическое определение векторного произведения
💡 Видео

Видео:§2 Линейная операция над векторамиСкачать

Арифметические операции над векторами

1. Сложение векторов:

Сложение векторов выполняется путем суммирования их компонент.

Если у нас есть два вектора, например, a=[a1, a2, a3] и b=[b1, b2, b3],

то сложение векторов a и b будет иметь вид c=[a1+b1, a2+b2, a3+b3].

2. Вычитание векторов:

Вычитание векторов выполняется похожим образом, но с вычитанием их компонент.

Если у нас есть два вектора, например, a=[a1, a2, a3] и b=[b1, b2, b3],

то вычитание векторов a и b будет иметь вид c=[a1-b1, a2-b2, a3-b3].

3. Умножение вектора на число:

Умножение вектора на число выполняется путем умножения каждой компоненты вектора на это число.

Если у нас есть вектор a=[a1, a2, a3] и число k, то умножение вектора a на число k будет иметь вид b=[k*a1, k*a2, k*a3].

Таким образом, операции над векторами позволяют нам комбинировать и манипулировать векторами,

что является важным инструментом в различных областях науки и инженерии.

Сложение векторов

Для того чтобы сложить два вектора, необходимо сложить их соответствующие компоненты. Например, если у нас есть вектор a = (a₁, a₂, a₃) и вектор b = (b₁, b₂, b₃), то суммой этих векторов будет вектор c = (a₁ + b₁, a₂ + b₂, a₃ + b₃).

Если векторы имеют одинаковую размерность, то их можно сложить поэлементно. Например, если у нас есть вектор a = (2, 3, 4) и вектор b = (1, -1, 2), то сумма этих векторов будет вектор c = (2 + 1, 3 — 1, 4 + 2) = (3, 2, 6).

Сложение векторов можно наглядно представить с помощью таблицы. В таблице представлены начальные векторы и результат их сложения.

Вектор a	Вектор b	Результат (a + b)
(2, 3, 4)	(1, -1, 2)	(3, 2, 6)
(-2, 0, 5)	(3, 1, -4)	(1, 1, 1)
(4, 2)	(-1, 3)	(3, 5)

Сложение векторов широко применяется в физике, математике, информатике и других науках. Например, векторное сложение используется для нахождения результирующей силы при действии нескольких сил на тело, а также для вычисления суммы векторов скорости в движении.

Вычитание векторов

Пусть у нас есть два вектора A и B:

Вектор	x-координата	y-координата	z-координата
A	A_x	A_y	A_z
B	B_x	B_y	B_z

Тогда разность векторов A и B будет:

Вычитание	x-координата	y-координата	z-координата
A — B	A_x — B_x	A_y — B_y	A_z — B_z

Таким образом, вычитание векторов выполняется путем вычитания соответствующих координат или компонент векторов.

Вычитание векторов имеет геометрическую интерпретацию. Она означает, что если мы представляем векторы на плоскости или в трехмерном пространстве, то разность векторов будет новым вектором, начало которого совпадает с началом первого вектора, а конец — с концом второго вектора.

Умножение вектора на число

Умножение вектора на число производится путем умножения каждой компоненты вектора на заданное число. Другими словами, если у нас есть вектор а = (a₁, a₂, …, a_n) и число k, то умножение вектора на число будет представлять собой новый вектор b, где каждая компонента b_i будет равна произведению соответствующей компоненты вектора a на число k.

Пример:

Пусть у нас есть вектор а = (2, 4, 6) и число 3.

Тогда умножение вектора а на число 3 будет иметь следующий вид:

а * 3 = (2*3, 4*3, 6*3) = (6, 12, 18).

Таким образом, получается новый вектор b = (6, 12, 18), который получается путем умножения каждой компоненты вектора а на число 3.

Видео:Линейная алгебра. Векторы и операции над векторами.Скачать

Векторное произведение

Математически это выражается следующим образом:

Пусть у нас есть два вектора A и B, заданные координатами:

A = (A_x, A_y, A_z)

B = (B_x, B_y, B_z)

Тогда векторное произведение A и B обозначается следующим образом:

A x B = (A_y * B_z — A_z * B_y, A_z * B_x — A_x * B_z, A_x * B_y — A_y * B_x)

В результате получаем новый вектор, который перпендикулярен плоскости, образованной векторами A и B. Векторное произведение имеет своеобразную «направленность», определяющуюся выбором правила правой руки.

Векторное произведение наиболее часто используется в физике и геометрии. Например, оно позволяет вычислить площадь параллелограмма, образованного двумя векторами. Также векторное произведение используется для определения нормали к плоскости или для решения задач, связанных со скалярными и векторными произведениями.

Геометрическая интерпретация векторного произведения

Для вычисления векторного произведения векторов A и B необходимо знать их координаты: Ax, Ay, Az и Bx, By, Bz. Формула вычисления векторного произведения имеет следующий вид:

C = A × B = (Ay * Bz — Az * By, Az * Bx — Ax * Bz, Ax * By — Ay * Bx)

Итак, геометрическое значение векторного произведения заключается в следующем:

Пусть у нас есть два ненулевых вектора A и B. Положим начало первого вектора в начало координат, а другие точки первого и второго векторов зададим концами этих векторов. Тогда вектор C, полученный в результате векторного произведения, будет направлен перпендикулярно плоскости, определенной первыми двумя векторами A и B, и будет направлен в сторону, задаваемую правилом правой руки. При этом, если векторное произведение равно нулевому вектору, это означает, что векторы A и B лежат в одной плоскости или параллельны друг другу.

Таким образом, геометрическая интерпретация векторного произведения позволяет наглядно представить связь между трехмерным пространством, векторами и их операциями.

Математическое определение векторного произведения

c_x = a_y * b_z — a_z * b_y

c_y = a_z * b_x — a_x * b_z

c_z = a_x * b_y — a_y * b_x

Здесь a и b — исходные векторы, c — полученный вектор. Координаты c вычисляются путем перемножения соответствующих координат исходных векторов с учетом знаков.

Векторное произведение имеет несколько полезных свойств. Во-первых, его результат перпендикулярен плоскости, образуемой исходными векторами. Во-вторых, его длина равна площади параллелограмма, построенного на исходных векторах. В-третьих, векторное произведение обладает определенным порядком — меняя порядок векторов, результат будет иметь противоположное направление.

Векторное произведение находит широкое применение в физике и геометрии для решения различных задач, таких как вычисление площади треугольников, определение угла между векторами, построение кривых, а также в механике для определения момента силы.