Какой четырехугольник описывает круг: геометрия и особенности (5 видео)

Четырехугольник – это геометрическая фигура, которая состоит из четырех сторон и четырех углов. Но какой четырехугольник может быть описан вокруг круга?

В геометрии существует понятие «описанная окружность», которое обозначает окружность, которая проходит через каждую вершину многоугольника и становится его ограничивающей. В случае четырехугольника, такая окружность называется «окружностью Эйлера».

Чтобы использовать определение окружности Эйлера, необходимо, чтобы каждая из четырех вершин четырехугольника лежала на окружности. Таким образом, в ответе на вопрос о том, какой четырехугольник может быть описан вокруг круга, мы можем назвать любой четырехугольник, все вершины которого лежат на окружности Эйлера.

Содержание

Какой четырехугольник можно описать вокруг круга?
Четырехугольники и их особенности
Ромб
Трапеция
Прямоугольник
Как описать круг вокруг четырехугольника
Треугольник Ферма-Эйлера
Срединный перпендикуляр
Метод хорд
📽️ Видео

Видео:8 класс Геометрия. Окружность вписанная в четырехугольник и описанная около четырехугольника Урок #4Скачать

Какой четырехугольник можно описать вокруг круга?

Вокруг круга можно описать различные четырехугольники, в зависимости от свойств этого круга и требований к четырехугольнику.

Один из наиболее простых четырехугольников, который можно описать вокруг круга, — это прямоугольник. Для этого необходимо, чтобы круг был центрально-симметричным относительно своего центра. В этом случае, противоположные стороны прямоугольника будут параллельны и равны друг другу, а его диагонали будут проходить через центр круга.

Другим примером четырехугольника, который можно описать вокруг круга, — это ромб. Для этого требуется, чтобы круг был окружен ромбом, то есть его центр должен находиться на пересечении диагоналей ромба. В этом случае, все стороны ромба будут равными, а диагонали будут проходить через центр круга.

Также, вокруг круга можно описать трапецию. Для этого круг должен иметь равные диаметры, а трапеция — основания, параллельные друг другу. В этом случае, диагонали трапеции будут проходить через центр круга, а они в свою очередь будут перпендикулярны основаниям и равны между собой.

Также существуют и другие четырехугольники, которые можно описать вокруг круга. Они имеют разные свойства и требования к кругу и не будут рассмотрены в данной статье.

Видео:Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Четырехугольники и их особенности

У четырехугольников есть различные особенности, которые позволяют классифицировать их по разным признакам. В зависимости от соотношения сторон и углов, четырехугольники делятся на разные виды.

Одним из особых видов четырехугольников является ромб. Он обладает следующими свойствами: все четыре стороны равны между собой, все углы равны 90 градусам, и диагонали являются взаимно перпендикулярными.

Трапеция – это четырехугольник, у которого две стороны параллельны друг другу. Трапеция также имеет два особых угла, называемых основными углами, которые лежат напротив параллельных сторон.

Прямоугольник – это четырехугольник, у которого все углы равны 90 градусам. У него две пары параллельных сторон, и все стороны равны попарно друг другу.

Круг может быть описан вокруг любого четырехугольника, если все его вершины лежат на окружности.

Также существуют специальные четырехугольники, такие как треугольник Ферма-Эйлера, который является плоским фигурой, у которой сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон, а также срединный перпендикуляр, который является линией, перпендикулярной одной стороне и проходящей через середину противоположной стороны.

Метод хорд – это способ построения окружности с использованием четырехугольника и его диагоналей.

Ромб

Одной из особенностей ромба является равенство его диагоналей. Диагонали ромба делят его на четыре равных треугольника. Каждая диагональ ромба является средней линией треугольника, а также является высотой треугольника.

Второй особенностью ромба является то, что его стороны образуют прямой угол с его диагоналями. Это означает, что диагонали ромба являются его биссектрисами и делителями углов.

Ромб также является параллелограммом, у которого все стороны равны. Все пары противоположных сторон ромба параллельны друг другу. Это значит, что ромб имеет две параллельные стороны.

В геометрии ромб широко используется в различных задачах и конструкциях. Он является базовым элементом для создания других фигур, таких как ромбоид, прямоугольник и параллелограмм.

Трапеция

Трапеции делятся на два типа: прямоугольные трапеции и непрямоугольные трапеции.

Прямоугольная трапеция — это трапеция, у которой одно из оснований является прямоугольником. Основания прямоугольной трапеции параллельны и перпендикулярны боковым сторонам.

Непрямоугольная трапеция — это трапеция, у которой оба основания не являются прямоугольником. В этом случае, боковые стороны не будут перпендикулярны основаниям, и углы не будут прямыми.

Для трапеции существует также ряд основных свойств и формул:

Основная свойство	Формула
Сумма углов трапеции	180 градусов
Периметр трапеции	Сумма длин всех сторон
Площадь трапеции	0.5 * (сумма длин оснований) * высота

Трапеции используются в различных областях, таких как геометрия, архитектура и физика. Они являются важными элементами в строительстве и дизайне, также они часто встречаются в планах зданий или чертежах механизмов.

Прямоугольник

У прямоугольника есть две пары противоположных сторон (a и b), которые равны друг другу. Также у него есть четыре угла, которые равны 90 градусам.

Формула для вычисления площади прямоугольника: S = a * b. А формула для вычисления периметра: P = 2 * (a + b).

Прямоугольники широко используются в жизни и встречаются везде, начиная от окон и дверей, и заканчивая зданиями и телевизорами. В математике они также играют важную роль, например, в геометрии и алгебре.

Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Как описать круг вокруг четырехугольника

Одним из таких методов является метод срединного перпендикуляра. Он гласит, что вокруг любого четырехугольника можно описать круг, если построить перпендикуляры к сторонам четырехугольника, проведенные через середины этих сторон, и найти их точку пересечения.

Для начала находим середины сторон четырехугольника. Затем проводим перпендикуляры к этим сторонам, а точнее к отрезкам, соединяющим середины этих сторон. Перпендикуляры должны проходить через отрезки под прямым углом.

	А	Б	В	Г
P	O₁	O₂	O₃	O₄

После этого находим точку пересечения перпендикуляров и получаем центр описанного круга. Радиус круга равен расстоянию от центра круга до любой вершины четырехугольника.

Метод срединного перпендикуляра является одним из способов описания круга вокруг четырехугольника. Он позволяет найти круг, который точно проходит через все вершины четырехугольника, и в то же время является наиболее простым и надежным методом для данной задачи.

Треугольник Ферма-Эйлера

Основными особенностями треугольника Ферма-Эйлера являются:

Все три его стороны равны между собой.
Углы треугольника Ферма-Эйлера равны 60 градусам.

Интересно отметить, что треугольник Ферма-Эйлера обладает свойством, которое делает его особенным. Если взять любую его сторону и построить равносторонний треугольник на данной стороне как на гипотенузе, то оставшаяся часть этой стороны будет являться радиусом описанной окружности вокруг треугольника.

Для построения треугольника Ферма-Эйлера можно использовать следующую табличную формулу:

Сторона AB	Сторона BC	Сторона CA
\(\frac{\sqrt{3}a}{2}\)	\(\frac{\sqrt{3}a}{2}\)	\(\sqrt{3}a\)

Где a — длина стороны треугольника.

Треугольник Ферма-Эйлера является одним их множества самых симметричных и регулярных фигур. Его свойства широко применяются в математике и геометрии.

Срединный перпендикуляр

Срединный перпендикуляр является особым элементом четырехугольника, который обладает некоторыми уникальными свойствами:

Проходит через середины двух сторон, делит их пополам и создает два равных отрезка;
Перпендикулярен к сторонам четырехугольника, что означает, что угол между срединным перпендикуляром и сторонами будет прямым углом;
Пересекается с другим срединным перпендикуляром четырехугольника в его центре, делая его точку пересечения центром симметрии.

Использование срединного перпендикуляра в геометрии позволяет находить различные характеристики и свойства четырехугольников:

Определение середины стороны четырехугольника;
Построение центра симметрии четырехугольника;
Нахождение медиан четырехугольника;
Поиск равенства двух сторон четырехугольника;
Доказательство параллельности сторон четырехугольника.

Срединный перпендикуляр играет важную роль в анализе и построении четырехугольников, а его свойства и приложения позволяют более глубоко изучать геометрию и решать различные задачи.

Метод хорд

Для начала применим метод хорд для прямоугольника. Возьмем прямоугольник ABCD с вершинами A(0,0), B(a,0), C(a,b) и D(0,b), где a и b — длины сторон прямоугольника. Чтобы описать окружность вокруг этого прямоугольника, можно воспользоваться следующей формулой:

R = √[(a/2)² + (b/2)²]

где R — радиус окружности, a — длина стороны прямоугольника по горизонтали, b — длина стороны прямоугольника по вертикали.

Давайте проиллюстрируем метод хорд в таблице. Рассмотрим пример прямоугольника ABCD со сторонами a = 6 единиц и b = 4 единиц.

Точка	Координата X	Координата Y
A	0	0
B	6	0
C	6	4
D	0	4

Подставим значения координат вершин прямоугольника в формулу и получим:

R = √[(6/2)² + (4/2)²] = √[9 + 4] = √13

Таким образом, радиус окружности, описанной вокруг этого прямоугольника, равен √13 единиц.

Метод хорд также может быть применен для других четырехугольников, таких как ромб и трапеция. Для этого необходимо знать координаты вершин четырехугольника и применить формулу расчета радиуса окружности, аналогичную формуле для прямоугольника.

Таким образом, метод хорд является эффективным способом описания окружности вокруг четырехугольника и нахождения радиуса этой окружности.