Что такое квадратичная функция и примеры ее использования (7 видео)

Квадратичная функция – это особый вид функции в математике, который описывает зависимость между переменными, представленную квадратным уравнением. Она имеет вид f(x) = ax^2 + bx + c, где a, b и c – коэффициенты, а x – переменная. Название «квадратичная» происходит от термина «квадрат», так как основным членом функции является квадрат переменной x.

Основными понятиями, связанными с квадратичной функцией, являются вершина параболы и направление ветвей параболы. Вершина параболы – это точка на графике функции, в которой она достигает минимума или максимума. Направление ветвей параболы определяется знаком коэффициента a: если a > 0, то ветви параболы направлены вверх, если a < 0 – вниз.

Квадратичные функции широко применяются в различных областях науки, техники и экономики. Они позволяют моделировать различные явления и зависимости, такие как траектория движения тела под действием силы тяжести, форма и объем параллелепипеда при заданных ограничениях, доход от производства и многие другие.

Давайте рассмотрим примеры квадратических функций. Один из самых известных примеров – функция параболы f(x) = x^2. Ее график представляет собой симметричную параболу с вершиной в начале координат. Еще один пример – функция f(x) = -2x^2 + 3x — 1. В этом случае, так как коэффициент a отрицательный, парабола направлена вниз. Важно отметить, что квадратичных функций может быть бесконечно много, каждая со своими особенностями и графиком.

Содержание

Квадратичная функция: определение и свойства
Определение и формула квадратичной функции
Основные свойства квадратичной функции
График квадратичной функции
Примеры квадратичных функций
Пример 1: Функция вида y = ax^2 + bx + c
Описание примера
Пример 2: Функция вида y = a(x — h)^2 + k
📽️ Видео

Видео:ЭЛЕМЕНТАРНО, ВАТСОН! Квадратичная Функция и ее график ПараболаСкачать

Квадратичная функция: определение и свойства

Основное свойство квадратичной функции заключается в том, что ее график представляет собой параболу. В зависимости от значения коэффициента a, парабола может быть направленной вверх (a > 0) или вниз (a < 0), а ветви параболы могут быть открывающимися вверх или вниз.

Другое важное свойство квадратичной функции — это наличие вершины. Вершина параболы — это точка на графике, в которой достигается ее максимальное (для a < 0) или минимальное (для a > 0) значение. Вершина имеет координаты (h, k), где h и k можно найти с помощью формул: h = -b / (2a) и k = f(h), где f(h) — это значение функции в точке h.

Квадратичная функция также имеет ось симметрии, которая проходит через ее вершину. Ось симметрии является вертикальной прямой и имеет уравнение x = h, где h — координата вершины параболы.

График квадратичной функции может иметь различные характеристики в зависимости от значений коэффициентов a, b и c. Например, если a > 0, то парабола будет направлена вверх и иметь минимальное значение в точке вершины; если a < 0, то парабола будет направлена вниз и иметь максимальное значение в точке вершины. Коэффициенты b и c также могут влиять на положение и форму параболы.

Важно отметить, что квадратичная функция является важным инструментом в математике и науке, и она широко применяется для моделирования и решения реальных задач.

Видео:Всё о квадратичной функции. Парабола | Математика TutorOnlineСкачать

Определение и формула квадратичной функции

Формула квадратичной функции имеет три члена: квадратичный член ax^2, линейный член bx и свободный член c. Коэффициент a — это коэффициент при квадратичном члене, коэффициент b — при линейном члене, и свободный член c не имеет переменной x.

Коэффициент	Описание
a	Коэффициент при квадратичном члене. Определяет направление и открытость параболы.
b	Коэффициент при линейном члене. Определяет смещение параболы влево или вправо.
c	Свободный член. Определяет смещение параболы вверх или вниз.

Примеры квадратичных функций: y = 2x^2 + 3x + 1, y = -x^2 + 5x — 2.

Квадратичная функция имеет несколько важных свойств:

Вершина параболы — точка (h, k), где h = -b / (2a) и k = f(h).
Ось симметрии параболы — вертикальная прямая, проходящая через вершину параболы.
Парабола открывается вверх, если коэффициент a положительный, и вниз, если коэффициент a отрицательный.
График квадратичной функции представляет собой параболу.

Изучение квадратичных функций и их свойств является важным в математике, физике, экономике и других областях, так как позволяет анализировать и предсказывать различные явления и процессы.

Видео:Решение квадратных уравнений. Дискриминант. 8 класс.Скачать

Основные свойства квадратичной функции

Основные свойства квадратичной функции включают:

Вершина параболы. Вершина параболы имеет координаты (h, k), где h = -b/2a и k = f(h) = ah^2 + bh + c. Вершина параболы является точкой минимума или максимума функции, в зависимости от значения параметра a.
Ось симметрии. Ось симметрии параболы проходит через вершину и является вертикальной линией с уравнением x = h.
Направление открытия. Если a > 0, то парабола открывается вверх, если a < 0, то парабола открывается вниз.
Значения функции. Значения функции y = ax^2 + bx + c зависят от значения аргумента x. Значения функции могут быть положительными, отрицательными или равными нулю, в зависимости от значений a, b и c.
Нули функции. Нули функции y = ax^2 + bx + c являются значениями аргумента x, при которых функция равна нулю. Нули функции могут быть одним или двумя.

Важно отметить, что квадратичная функция имеет множество других свойств и характеристик, которые могут быть изучены более подробно. Знание этих свойств позволяет анализировать и использовать квадратичные функции в различных областях, таких как физика, экономика и инженерия.

Видео:Квадратные уравнения от «А» до «Я». Классификация, решение и теорема Виета | МатематикаСкачать

График квадратичной функции

Для построения графика квадратичной функции можно использовать дополнительные характеристики: вершину параболы, направление открытия и ось симметрии.

Вершина параболы представляет собой минимальное (для ветвей вверх) или максимальное (для ветвей вниз) значение функции. Она может быть найдена с помощью формулы:

x = -b / (2a),

где x — координата вершины параболы, a и b — коэффициенты функции.

Направление открытия параболы может быть определено значением коэффициента a. Если a больше нуля, то парабола будет направлена вверх, а если a меньше нуля, парабола будет направлена вниз.

Ось симметрии параболы является вертикальной линией, проходящей через вершину параболы и перпендикулярной оси x.

Таким образом, зная эти характеристики, можно построить точный график квадратичной функции, который позволит визуально представить ее поведение и анализировать ее основные свойства.

Видео:ТЕПЕРЬ ТЫ ЛЕГКО ПОЙМЕШЬ свойства квадратичной функции — ПараболаСкачать

Примеры квадратичных функций

В данном разделе рассмотрим два примера квадратичной функции.

Пример 1: Функция вида y = ax^2 + bx + c

Рассмотрим функцию вида y = ax^2 + bx + c, где a, b и c — константы.

Данная квадратичная функция представляет собой параболу, график которой имеет форму, зависящую от значений коэффициентов a, b и c.

Коэффициент a определяет направление открытости параболы. Если a > 0, то парабола открывается вверх, если a < 0, то парабола открывается вниз.

Коэффициенты b и c влияют на положение параболы на координатной плоскости. Коэффициент b определяет сдвиг параболы по оси x, а коэффициент c — сдвиг параболы по оси y.

Для наглядности рассмотрим пример: y = 2x^2 + 3x + 1.

Пример 1: Функция вида y = ax^2 + bx + c

Рассмотрим функцию y = 2x^2 + 3x + 1.

Для этой функции коэффициент a = 2, коэффициент b = 3, а коэффициент c = 1.

— Так как коэффициент a > 0, парабола будет открываться вверх.

— Коэффициент b = 3, поэтому парабола будет сдвинута вправо на 3 единицы по оси x.

— Коэффициент c = 1, значит парабола будет сдвинута вверх на 1 единицу по оси y.

Исходя из этих данных, можно построить график данной квадратичной функции.

График и характеристики функции

График функции y = 2x^2 + 3x + 1 представляет собой параболу, которая открывается вверх и сдвинута вправо на 3 единицы по оси x и вверх на 1 единицу по оси y.

Таким образом, получаем следующие характеристики функции:

— Вершина параболы находится в точке с координатами (-1.5, 0.5).

— Функция имеет ветви, направленные вверх.

— Парабола пересекает ось x в двух точках.

— Дискриминант функции равен 9, что говорит о том, что функция имеет два различных корня.

Пример 2: Функция вида y = a(x — h)^2 + k

Рассмотрим функцию вида y = a(x — h)^2 + k, где a, h и k — константы.

Данная функция представляет собой параболу, график которой также зависит от значений коэффициентов a, h и k.

Коэффициент a в данной функции определяет направление открытости параболы. Если a > 0, то парабола будет открываться вверх, если a < 0, то парабола будет открываться вниз.

Коэффициенты h и k влияют на положение параболы на координатной плоскости. Коэффициент h определяет сдвиг параболы по оси x, а коэффициент k — сдвиг параболы по оси y.

Для наглядности рассмотрим пример: y = 2(x — 3)^2 + 4.

Видео:Парабола. Квадратичная функцияСкачать

Пример 1: Функция вида y = ax^2 + bx + c

Прежде всего, уточним значения коэффициентов в данном примере. Пусть a = 2, b = 3 и c = 1.

Теперь рассмотрим, какие характеристики имеет данная функция.

1. Вершина графика:

Для нахождения вершины графика квадратичной функции используется формула x = -b/2a. В данном примере, подставляя значения коэффициентов, получаем x = -3/2(2) = -3/4.

Зная значение x, мы можем найти значение y, подставив его в исходное уравнение:

y = 2(-3/4)^2 + 3(-3/4) + 1 = 2(9/16) — 9/4 + 1 = 9/8 — 9/4 + 1 = -1/8.

Таким образом, вершина графика данной функции находится в точке (-3/4, -1/8).

2. Отрезок возрастания/убывания:

Для определения отрезка возрастания/убывания квадратичной функции необходимо рассмотреть знак коэффициента a. В данном примере a = 2, что означает, что функция является выпуклой вверх. Следовательно, она возрастает при x < -3/4 и убывает при x > -3/4.

3. Точки пересечения с осями координат:

Для нахождения точек пересечения с осью OX необходимо приравнять y к нулю и решить уравнение ax^2 + bx + c = 0. В данном примере, подставляя коэффициенты, получаем 2x^2 + 3x + 1 = 0.

Решая данное уравнение, получаем x = -1 и x = -1/2. Таким образом, функция пересекает ось OX в точках (-1, 0) и (-1/2, 0).

Для нахождения точки пересечения с OY необходимо подставить x = 0 в исходное уравнение. В данном примере получаем y = 1.

Таким образом, функция пересекает ось OY в точке (0, 1).

Итак, данная квадратичная функция вида y = 2x^2 + 3x + 1 имеет вершину графика в точке (-3/4, -1/8), является выпуклой вверх и пересекает оси координат в точках (-1, 0), (-1/2, 0) и (0, 1).

Описание примера

Для примера возьмем функцию y = 2x^2 — 3x + 1. Здесь a = 2, b = -3, c = 1.

Подставим значения коэффициентов a, b, c в формулы для определения характеристик квадратичной функции:

Вершина графика функции имеет координаты (h, k), где h = -b/(2a) и k = -(D/(4a)), а D = b^2 — 4ac.
Ось симметрии графика функции проходит через вершину и параллельна оси OY.
Функция имеет пару противоположно направленных ветвей параболы, которые открываются вниз или вверх, в зависимости от знака коэффициента a.

Подставим значения коэффициентов a = 2, b = -3, c = 1:

h = -(-3)/(2*2) = 3/4
k = -((-3)^2 — 4*2*1)/(4*2) = -(-3)/(8) = 3/8

Таким образом, вершина графика функции имеет координаты (3/4, 3/8).

Теперь построим график функции:

Значения x будем выбирать вблизи вершины, чтобы определить направление открытия ветвей параболы.
Выберем несколько значений x: -2, -1, 0, 1, 2.
Подставим эти значения x в функцию y = 2x^2 — 3x + 1 и найдем соответствующие значения y.
Построим точки с координатами (x, y) на координатной плоскости.

Получим следующие точки:

x = -2, y = 17
x = -1, y = 6
x = 0, y = 1
x = 1, y = 0
x = 2, y = 3

По полученным точкам можем построить график функции, который будет являться параболой, открывающейся вверх. Осью симметрии графика будет прямая x = 3/4, проходящая через вершину параболы.

Таким образом, график функции y = 2x^2 — 3x + 1 будет выглядеть следующим образом:

Вставить график

График и характеристики функции

График квадратичной функции имеет форму параболы. В зависимости от значений коэффициентов a, b и c график может смещаться вверх или вниз, открываться вверх или вниз, быть широкой или узкой.

Основные характеристики квадратичной функции:

Вершина параболы: это точка, в которой график функции имеет минимум или максимум. Если a > 0, вершина параболы будет смотреть вверх, если a < 0 - вниз.
Ось симметрии: это вертикальная прямая, проходящая через вершину параболы, которая делит график на две симметричные части.
Фокус и директриса: для параболы есть фокус и директриса, которые определяют ее форму и положение.
Фокус: это точка на оси симметрии, расположенная на определенном расстоянии от вершины параболы.
Директриса: это прямая, на которой находятся все точки параболы, так что расстояние от фокуса до каждой точки параболы одинаково.

Для квадратичной функции y = ax^2 + bx + c:

Вершина параболы — (-b/2a, f(-b/2a)), где f(x) — значение функции.
Ось симметрии — x = -b/2a.
Формулы для нахождения фокуса и директрисы в зависимости от значений a, b и c.

Зная эти характеристики, можно легко построить график квадратичной функции и провести анализ ее поведения.

Видео:Квадратичная функция за 5 минутСкачать

Пример 2: Функция вида y = a(x — h)^2 + k

Данная функция представляет собой параболу с вершиной в точке (h, k). Параметр a определяет направление открытия параболы и ее растяжение или сжатие.

Если a > 0, то парабола направлена вверх и имеет минимум в точке вершины. Если a < 0, то парабола направлена вниз и имеет максимум в точке вершины.

Параметры h и k определяют положение вершины параболы на координатной плоскости. Смещение вершины по оси x происходит на величину h, а по оси y — на величину k.

Для построения графика такой функции можно выбрать несколько точек и определить их координаты. Затем, соединив эти точки гладкой кривой, можно получить график квадратичной функции.

Давайте рассмотрим пример. Пусть дана функция y = 2(x — 3)^2 + 1. Тогда имеем: h = 3, k = 1, a = 2.

x	y
0	19
1	10
2	5
3	4
4	5
5	10
6	19

Подставив различные значения x в функцию, мы получаем соответствующие значения y. Зная координаты точек, мы можем построить график на координатной плоскости.

Таким образом, пример 2 представляет собой квадратичную функцию вида y = a(x — h)^2 + k, график которой является параболой с вершиной в точке (h, k).