Описанная окружность: что это такое, особенности, примеры (4 видео)

Описанная окружность – это окружность, которая проходит через все вершины данного многоугольника. Она является важным понятием в геометрии и имеет множество интересных свойств. Познакомимся с этим понятием подробнее.

Свойства описанной окружности зависят от типа многоугольника. Например, для треугольника описанная окружность всегда существует и единственна. Ее центр лежит на пересечении перпендикуляров, опущенных из середин сторон треугольника, а радиус равен половине длины одной из сторон.

Описанная окружность имеет множество применений в реальной жизни. Например, она используется в сфере строительства и архитектуры для построения круглых площадок, колонн, куполов и других конструкций. Кроме того, описанная окружность является важным инструментом в решении геометрических задач и нахожении неизвестных значений.

Содержание

Описанная окружность
Определение описанной окружности
Что такое описанная окружность?
Как описать окружность?
Свойства описанной окружности
Свойства описанной окружности
Перпендикулярные хорды
Теорема о центральном угле
Закон синусов
🎥 Видео

Видео:Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминанияСкачать

Описанная окружность

Описанная окружность имеет ряд свойств, которые могут быть использованы для решения различных задач. Одно из основных свойств описанной окружности – равенство углов, опирающихся на одну и ту же хорду. Другое свойство описанной окружности – углы, образованные хордами, пересекающимися на окружности, равны. Еще одно свойство описанной окружности связано с перпендикулярными хордами. Если две хорды на описанной окружности перпендикулярны, то их серединный перпендикуляр проходит через центр окружности.

Описанная окружность широко применяется в геометрии для доказательства различных теорем и нахождения решений задач. Например, теорема о центральном угле позволяет находить меру центральных углов треугольника или многоугольника, опирающихся на одну и ту же дугу описанной окружности. Закон синусов позволяет находить длины сторон треугольника, используя радиус описанной окружности и меры углов треугольника.

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Определение описанной окружности

Другими словами, описанная окружность — это окружность, которая вписывается в фигуру таким образом, что каждая сторона фигуры является хордой этой окружности, а вершины фигуры лежат на окружности.

Описанная окружность обладает рядом важных свойств и применяется в различных областях математики и геометрии. Например, она используется для нахождения центра и радиуса окружности, а также для решения задач нахождения углов и длин сторон фигур.

Знание описанной окружности помогает в понимании геометрических конструкций и решении сложных задач, связанных с фигурами.

Что такое описанная окружность?

Для построения описанной окружности нужно знать координаты вершин многоугольника или иметь его графическое представление. На плоскости для каждой вершины многоугольника проводятся отрезки до центра, и из полученных отрезков строится окружность. Центр окружности лежит на перпендикулярной биссектрисе центрального угла между любыми двумя вершинами многоугольника.

Описанная окружность имеет ряд свойств:

Свойство	Описание
1	Перпендикулярные хорды, проведенные из одной точки на описанной окружности, равны.
2	Теорема о центральном угле: центральный угол, опирающийся на хорду, равен половине выписанного им дуги.
3	Закон синусов: для треугольника, вписанного в описанную окружность, справедливо соотношение между длинами сторон и синусами противолежащих углов.

Как описать окружность?

Шаг 1:

Возьмите ручку и линейку, чтобы провести несколько отрезков между вершинами многоугольника.

Шаг 2:

Найдите середину каждого из проведенных отрезков и отметьте эти точки.

Шаг 3:

С помощью линейки соедините каждую из найденных точек с центром многоугольника.

Шаг 4:

Полученные отрезки являются радиусами описанной окружности. С их помощью можно легко провести окружность вокруг многоугольника.

Описанная окружность имеет несколько важных свойств:

Свойство 1:

Описанная окружность является очень полезным инструментом геометрии и часто используется для решения различных задач.

Свойство 2:

Описанная окружность является внешней по отношению к многоугольнику и проходит через все его вершины.

Свойство 3:

Радиус описанной окружности является наибольшим из всех возможных радиусов окружности, которая может быть проведена вокруг многоугольника.

Свойства описанной окружности

Описанная окружность треугольника. Для треугольника обязательно существует описанная окружность. Центр описанной окружности треугольника лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.
Описанная окружность равнобедренного треугольника. Если треугольник равнобедренный, то описанная окружность будет пересекать основание треугольника, а также угол между плечами треугольника делится пополам окружностью.
Описанная окружность прямоугольного треугольника. Если треугольник является прямоугольным, то его описанная окружность будет иметь гипотенузу в качестве диаметра. То есть центр окружности будет совпадать с серединой гипотенузы, а стороны прямоугольного треугольника будут касаться окружности.
Вписанная окружность. Вписанная окружность – это окружность, которая касается всех сторон данного многоугольника или треугольника. Описанная окружность и вписанная окружность треугольника не совпадают, за исключением равностороннего треугольника.
Описанная окружность четырехугольника. Описанная окружность четырехугольника – это окружность, которая касается всех сторон данного четырехугольника. Центр описанной окружности четырехугольника лежит на пересечении серединных перпендикуляров, проведенных к диагоналям четырехугольника.

Знание свойств описанной окружности позволяет решать различные задачи по геометрии, находить длины сторон и углы треугольников, а также находить координаты центра окружности.

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Свойства описанной окружности

Перпендикулярные хорды. Если в описанной окружности провести хорды, перпендикулярные друг другу, то их середины образуют прямую, проходящую через центр окружности. И наоборот, если в описанной окружности через центр провести прямую, то она пересекает хорды, перпендикулярные друг другу, в их серединах.

Теорема о центральном угле. Если сегмент окружности ограничен хордой, проходящей через центр окружности, то центральный угол, соответствующий этому сегменту, будет прямым. И наоборот, если центральный угол сегмента окружности равен 90 градусам, то хорда, ограничивающая этот сегмент, проходит через центр окружности.

Закон синусов. Для треугольника, вписанного в описанную окружность, справедливо следующее соотношение между длинами сторон и синусами противолежащих углов: a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C), где a, b, c — стороны треугольника, A, B, C — соответствующие углы.

Перпендикулярные хорды

Перпендикулярная хорда – это отрезок, соединяющий две точки на окружности и перпендикулярный радиусу, проведенному в точке их пересечения.

У перпендикулярной хорды есть ряд особенностей:

Она всегда проходит через центр окружности, и является диаметром, если ее точки находятся диаметрально противоположно друг другу.
Если перпендикулярная хорда не является диаметром, то она делит окружность на две равные дуги.
Длина перпендикулярной хорды пропорциональна косинусу центрального угла, натянутого на эту хорду.

Также стоит отметить, что если через одну из точек перпендикулярной хорды провести линию, касательную к окружности, она будет иметь общую точку с той же всписанной окружностью.

Перпендикулярная хорда имеет свои применения в различных областях математики, физики и геометрии, например, в задачах нахождения площадей или расстояний.

Изучение свойств перпендикулярных хорд является важным шагом в изучении описанных окружностей и их применении в практических задачах.

Теорема о центральном угле

Теорема формулируется следующим образом: центральный угол, образованный хордой и дугой, равен половине угла, образованного хордой и любым касательным, проведенным к этой дуге в точке ее пересечения с хордой.

Данная теорема имеет широкое применение и используется в различных областях, включая геометрию, физику и инженерию. Она помогает в решении задач, связанных с расчетами углов и линий на плоскости.

Теорема о центральном угле является одной из важных составляющих геометрии описанных окружностей и играет значительную роль в понимании и решении задач, связанных с этими окружностями.

Пример использования теоремы о центральном угле:

Представим ситуацию, когда у нас есть окружность с центром O и хордой AB. Случайным образом мы проводим к этой окружности касательную в точке С, образуя угол AOC. В данном случае, теорема о центральном угле утверждает, что угол ACB будет в два раза меньше угла AOC. Это справедливо для любого положения точки С на окружности.

Теорема о центральном угле имеет большое значение и является одной из фундаментальных теорем, которые помогают в понимании и решении задач, связанных с описанными окружностями и их свойствами.

Закон синусов

Закон синусов формулируется следующим образом: отношение длины стороны треугольника к синусу противолежащего ей угла равно одному и тому же отношению для всех трех сторон и углов треугольника.

Математический вид закона синусов выглядит так:

a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)

Где a, b, c — стороны треугольника, A, B, C — противолежащие им углы, sin(A), sin(B), sin(C) — синусы этих углов.

Закон синусов позволяет найти неизвестные стороны или углы треугольника, если известны значения двух сторон и угла между ними, или значения стороны и противолежащего ей угла.

Применение закона синусов особенно полезно при решении задач, связанных с треугольниками, в которых известны длины сторон и нужно найти значения углов или длины других сторон.

Также, закон синусов является важным инструментом в геодезии, навигации, астрономии и других науках, где требуется работать с треугольниками и определять их форму и размеры.