Период дроби и его вычисление — как найти и расшифровать (4 видео)

Дробь — это особый вид числа, которое может быть представлено в виде отношения двух чисел — числителя и знаменателя. В некоторых случаях, десятичная запись дроби может образовывать периодическую последовательность — последовательность, которая повторяется бесконечно. Именно такую дробь называют периодической дробью.

Периодическая дробь состоит из двух частей: первой части, которая не повторяется, и повторяющегося периода. Период обозначается обычно надчеркиванием над цифрами, чтобы отличить его от не периодической части числа. Например, если число имеет десятичную запись 0.1666666…, то периодической частью будет 6.

Вычисление периода дроби основано на простом алгоритме. Для начала необходимо разделить числитель на знаменатель и получить десятичную дробь. Затем нужно просмотреть цифры после запятой и найти периодическую последовательность. Если периодическая последовательность найдена, то ее можно записать в виде отношения двух чисел — числителя и знаменателя. Это и будет период дроби.

Содержание

Что такое период дроби?
Определение периода дроби
Примеры периодических десятичных дробей
Как вычислить период дроби?
Метод деления с остатками
Метод простых дробей
🎦 Видео

Видео:Сложение дробей. Как складывать дроби?Скачать

Что такое период дроби?

Период дроби обычно обозначается символом вида а, где а — целое число. Например, для числа 1/3 период составляет 3, а для числа 1/6 период составляет 6. Иногда период дроби может содержать несколько цифр или групп цифр. Например, для числа 1/7 период составляет 142857, а для числа 1/11 период составляет 09.

Периодическая десятичная дробь может быть представлена как бесконечная сумма двух частей: десятичной дроби, которая состоит из чисел до периода, и периода. Например, число 1/3 можно записать как 0.3333… или 0.(3).

Понимание периода дроби очень важно в математике, особенно при работе с рациональными числами и вещественными числами. Знание периода дроби позволяет упростить сложные выражения, решать уравнения и проводить различные операции с дробями.

Определение периода дроби

Для обозначения периода дроби принято использовать символы, обычно буквы, которые ставят над периодом. Например, для дроби 1/3 период обозначается как (1/3) = 0.333…, где символ «3» повторяется бесконечно.

Важно отметить, что периодическая дробь может иметь как конечный период, то есть период повторяется только определенное количество раз, так и бесконечный период, когда он повторяется бесконечное число раз.

Определение периода дроби очень полезно в математике и имеет множество практических применений, включая вычисления, статистику, распределение вероятностей и другие области.

Примеры периодических десятичных дробей

1) Дробь 1/3 = 0.3333…, где тройка повторяется бесконечно.

2) Дробь 1/7 = 0.142857142857…, где цифры 142857 повторяются бесконечно.

3) Дробь 2/11 = 0.18181818…, где цифры 18 повторяются бесконечно.

4) Дробь 5/6 = 0.833333…, где тройка повторяется бесконечно после цифры 8.

5) Дробь 4/9 = 0.4444…, где цифра 4 повторяется бесконечно.

6) Дробь 3/13 = 0.230769230769…, где цифры 230769 повторяются бесконечно.

Приведенные примеры показывают, что периодические десятичные дроби могут иметь различную длину периода и могут состоять из различных комбинаций цифр.

Видео:Как объяснить дроби? Что такое дробь? простое объяснение дробей. Как объяснить ребенку доли?Скачать

Как вычислить период дроби?

Один из таких методов — это метод деления с остатками. Для вычисления периода дроби с помощью этого метода необходимо разделить числитель дроби на знаменатель, записать результат в виде десятичной дроби и анализировать полученный период.

Другой метод — это метод простых дробей. Он основан на представлении периодической десятичной дроби в виде суммы обыкновенной дроби и остаточной части. С помощью этого метода можно выявить закономерности в периоде дроби и определить периодические цифры.

Важно отметить, что для применения данных методов необходимо иметь базовые знания в области деления и работы с десятичными дробями. Кроме того, для сложных и больших периодов может потребоваться использование специализированных алгоритмов и техник.

Вычисление периода дроби имеет широкий спектр применений, включая финансовую математику, теорию вероятностей, физику и другие науки. Понимание методов вычисления периода дроби помогает увидеть взаимосвязи между различными математическими концепциями и создает основу для дальнейшего изучения более сложных математических структур и алгоритмов.

Метод деления с остатками

Для применения этого метода необходимо записать дробь в виде обыкновенной десятичной дроби, а затем произвести деление числителя на знаменатель. Затем процесс деления продолжается до тех пор, пока не будет достигнут период. В процессе работы следует отмечать все полученные остатки и сравнивать их с уже полученными значениями. Когда остаток повторится, можно заключить, что период начался и повторяющаяся последовательность найдена.

Пример:

Дана дробь 1/7.
Записываем ее в виде десятичной дроби: 0.142857142857…
Производим деление числителя 1 на знаменатель 7.
Получаем частное 0 и остаток 1.
Умножаем остаток на 10 и снова делим на 7.
Получаем частное 1 и остаток 3.
Продолжаем процесс деления, пока не найдем повторяющуюся последовательность.
В данном случае повторяющаяся последовательность равна 142857.

Таким образом, метод деления с остатками позволяет эффективно вычислить период дроби и определить повторяющуюся последовательность.

Метод простых дробей

Для начала необходимо записать периодическую десятичную дробь в виде уравнения, где x — сама дробь:

x = a + 0, d₁d₂…d_n(d₁d₂…d_n)

Далее, чтобы найти простые дроби, необходимо представить x в виде суммы двух слагаемых:

x = a + b

Первое слагаемое a — это число, полученное из целой части дроби. Второе слагаемое b представляется в виде десятичной дроби без периода, в которой числитель равен периоду без первой цифры, а знаменатель имеет столько девяток, сколько цифр в периоде.

Пример:

x = 2 + 0, 3(6)

a = 2

b = 0, 36

Далее необходимо записать b в виде суммы простых дробей:

b = c₁ + c₂ + … + c_n

Каждая простая дробь c_i представляется в виде дроби с числителем равным первой цифре из периода и знаменателем таким, чтобы при умножении на знаменатель получалась степень десятки, равная длине периода.

Пример:

c₁ = 3/10

И таким образом продолжаем до тех пор, пока остаток b не станет равным нулю.

В результате получаем запись периодической десятичной дроби в виде суммы простых дробей:

x = a + c₁ + … + c_n

Используя этот метод, можно вычислить период дроби с любой точностью, а также записать его в виде суммы простых дробей, что делает его более наглядным и удобным для использования в математических расчетах.