Почему косинус является четной функцией: объяснение и примеры (2 видео)

Косинус — одна из основных тригонометрических функций, которая широко используется в математике, физике и других науках. Одно из самых интересных свойств косинуса — его четность. Что это означает и как это работает?

Функция называется четной, если она симметрична относительно оси ординат, то есть график функции полностью повторяется при отражении относительно этой оси. В случае косинуса это означает, что значение функции для отрицательного аргумента равно значению функции для положительного аргумента с обратным знаком.

Формально, это выглядит следующим образом: если y = cos(x), то cos(-x) = cos(x). Или, с использованием символа четности (четность обозначается символом «+»): cos(x) = cos(-x).

Данное свойство можно объяснить с точки зрения геометрии. График косинуса — это график правильной окружности на плоскости. При изменении аргумента косинуса на противоположное значение, мы просто перемещаемся на окружности на угол, который отличается от начального угла на 180 градусов или пи радиан. Таким образом, график функции не изменяется, а значит, значение функции остается тем же самым.

Содержание

Косинус – четная функция
Почему косинус является четной функцией
Геометрическое представление
Свойство косинуса
Отображение симметрии
Определение косинуса через экспоненту
Примеры четности косинуса
🎬 Видео

Видео:Четные и нечетные функцииСкачать

Косинус – четная функция

Чтобы понять, что значит, что косинус является четной функцией, рассмотрим его определение. Косинус угла определяется как отношение прилегающего катета прямоугольного треугольника к гипотенузе.

Свойство четности функции означает, что для любого значения аргумента x выполняется равенство f(-x) = f(x).

В случае косинуса это означает, что для любого угла α выполняется равенство cos(-α) = cos(α). Иными словами, значения косинуса функции при аргументе -α равны значениям косинуса при аргументе α.

Это свойство можно также понять геометрически. График косинуса симметричен относительно оси ординат, что означает, что точки, отображающие значения косинуса при аргументе α и -α, имеют одинаковую ординату.

Также косинус можно определить через экспоненту, используя формулу cos(α) = (e^(iα) + e^(-iα)) / 2. Если в эту формулу подставить -α, то получим cos(-α) = (e^(-iα) + e^(iα)) / 2. При сравнении этих выражений видно, что они равны, что подтверждает четность функции.

Приведем несколько примеров для наглядного представления четности косинуса:

cos(0) = cos(0) = 1
cos(π/4) = cos(-π/4) = √2/2
cos(π/2) = cos(-π/2) = 0
cos(3π/4) = cos(-3π/4) = -√2/2
cos(π) = cos(-π) = -1

Таким образом, косинус является четной функцией, что означает, что его значения при отрицательных аргументах совпадают со значениями при положительных аргументах.

Видео:9 класс, 18 урок, Чётные и нечётные функцииСкачать

Почему косинус является четной функцией

Чтобы понять, почему косинус является четной функцией, можно рассмотреть его геометрическое представление на окружности единичного радиуса. Косинус угла α можно определить как отношение длины прилежащего катета к гипотенузе в прямоугольном треугольнике с углом α.

Из геометрического определения следует, что катет при отрицательном угле α будет иметь ту же длину, что и при положительном угле α, и что гипотенуза останется неизменной. Следовательно, значение косинуса для отрицательного аргумента будет таким же, как и для положительного аргумента. Это объясняет четность функции.

Еще одно объяснение четности косинуса можно найти в его определении через экспоненту. Косинус угла α может быть выражен как реальная часть комплексного числа e^(iα), где i — мнимая единица. Поскольку экспонента является нечетной функцией, то ее реальная часть (косинус) будет четной функцией. Таким образом, косинус является четной функцией и имеет симметричное отражение относительно оси ординат.

Геометрическое представление

Единичная окружность — это окружность радиусом 1, с центром в начале координат (0,0). На этой окружности каждой точке соответствует определенный угол.

Для представления косинуса геометрически, выбирается точка на единичной окружности, а затем проводится отрезок, который соединяет эту точку с началом координат. Длина этого отрезка и будет значением функции косинуса для данного угла.

Например, если мы выберем точку на единичной окружности, угол которой равен 60 градусам, и проведем отрезок до начала координат, то длина этого отрезка будет 0.5. Это значит, что косинус 60 градусов равен 0.5.

Геометрическое представление косинуса позволяет наглядно понять, как меняется значение функции в зависимости от угла и объясняет, почему косинус является четной функцией.

Свойство косинуса

cos(-x) = cos(x)

То есть, косинус от отрицательного угла равен косинусу от положительного угла. Это свойство можно объяснить геометрически.

Рассмотрим единичную окружность с центром в начале координат O. Пусть точка P(x, y) — произвольная точка на этой окружности, а линия OP — луч, исходящий из центра. Тогда косинус угла между положительным направлением оси OX и линией OP равен отношению координаты x к радиусу окружности, то есть:

cos(x) = x / 1 = x

Теперь рассмотрим отрицательный угол -x. Точка P’ будет расположена на окружности под отрицательным углом, но расстояние от точки P’ до начала координат O будет равно расстоянию от точки P до O, так как окружность симметрична относительно оси OX. Поэтому координата x для точки P’ также будет равна x:

cos(-x) = x

Таким образом, косинус является четной функцией как с точки зрения алгебраического определения, так и с геометрической точки зрения.

Отображение симметрии

Для косинуса это означает, что косинус от угла θ будет равен косинусу от угла (-θ). Другими словами, значения косинуса симметричны относительно вертикальной оси.

Графически это представляется в виде симметричной фигуры относительно оси абсцисс. Например, если мы возьмем угол θ и отобразим его на графике, то его симметричным отображением будет отрицательный угол (-θ).

Это свойство отображения симметрии имеет практическое применение во многих областях науки и техники. Оно позволяет совершать преобразования и расчеты, используя значения косинуса в одной стороне от оси симметрии и получать равные значения в другой стороне.

Таким образом, отображение симметрии подтверждает четность косинуса и позволяет использовать его значения для решения различных задач и вычислений.

Определение косинуса через экспоненту

Формула определения косинуса через экспоненту имеет вид:

cos(x) = (e^ix + e^-ix) / 2

где x — угол, e — число Эйлера, i — мнимая единица.

Эта формула основывается на комплексных числах и подразумевает представление косинуса в виде суммы экспонент. Здесь e^ix представляет собой функцию, где e — основание экспоненциальной функции, а ix — мнимая часть числа. Аналогично, e^-ix обозначает сопряженное число к e^ix.

Определение косинуса через экспоненту позволяет осуществлять расчеты с помощью комплексных чисел. Благодаря этому, косинус может принимать любое действительное значение и иметь отрицательные значения при отрицательных углах.

Данное определение также позволяет проводить алгебраические операции с косинусом и другими тригонометрическими функциями, такими как синус и тангенс. Оно является основой для изучения свойств и графиков функции косинуса.

Видео:ВСЕ, ЧТО НУЖНО ЗНАТЬ ПРО ВИДЫ ФУНКЦИЙ — Четные и Нечетные ФункцииСкачать